Cartesian Tree
(tree/cartesian-tree.hpp)

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• Last update: 2026-06-08 17:59:24+09:00
• Include: #include "tree/cartesian-tree.hpp"

Cartesian Tree

概要

数列$(a_n)$が与えられたとき、区間$[0,n)$に対して次の操作を再帰的に繰り返すことで得られる二分木をCartesian Treeと呼ぶ。

• 区間$[l,r)$が与えられたとき、$i \in [l,r)$のうちa_iが最小の$i$(複数ある場合は$i$が最も小さい点)を$m$と置く。
• 頂点$m$を根、区間$[l,m)$から得られる二分木を左の子、区間$[m+1,r)$から得られる二分木を右の子とした木を返す。

Cartesian Treeの構築にかかる時間計算量は直感的には$\mathrm{O}(n \log n)$だが、実はstackを利用することで$\mathrm{O}(n)$での構築が可能である。

Cartesian Treeの長所として「頂点$(u,v)$のLCAが区間$[u,v]$の最小値に対応する」という点があり、前計算$\mathrm{O}(n)$-クエリ$\mathrm{O}(1)$のRMQなどに利用されている。

参考：EXPREP(codechef)　SAを計算して手に入れたLCP配列から構築したCartesian TreeをHLDecしてRSQ+RAQを載せることで解くことが出来る。(想定解はSuffix AutomatonとDSU on TreeとRSQ+RAQらしいが…)

使い方

• CartesianTree(a) : 配列$a$に対して{グラフ,根}を返す。

Verified with

• verify/verify-aoj-dsl/aoj-dsl-3-d-cartesiantree.test.cpp
• verify/verify-yosupo-graph/yosupo-cartesian.test.cpp

Code

#pragma once

#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;

// return value : pair<graph, root>
template <typename T>
pair<vector<vector<int>>, int> CartesianTree(vector<T> &a) {
  int N = (int)a.size();
  vector<vector<int>> g(N);
  vector<int> p(N, -1), st;
  st.reserve(N);
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int prv = -1;
    while (!st.empty() && a[i] < a[st.back()]) {
      prv = st.back();
      st.pop_back();
    }
    if (prv != -1) p[prv] = i;
    if (!st.empty()) p[i] = st.back();
    st.push_back(i);
  }
  int root = -1;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    if (p[i] != -1)
      g[p[i]].push_back(i);
    else
      root = i;
  }
  return make_pair(g, root);
}

/**
 * @brief Cartesian Tree
 */

#line 2 "tree/cartesian-tree.hpp"

#include <utility>
#include <vector>
using namespace std;

// return value : pair<graph, root>
template <typename T>
pair<vector<vector<int>>, int> CartesianTree(vector<T> &a) {
  int N = (int)a.size();
  vector<vector<int>> g(N);
  vector<int> p(N, -1), st;
  st.reserve(N);
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    int prv = -1;
    while (!st.empty() && a[i] < a[st.back()]) {
      prv = st.back();
      st.pop_back();
    }
    if (prv != -1) p[prv] = i;
    if (!st.empty()) p[i] = st.back();
    st.push_back(i);
  }
  int root = -1;
  for (int i = 0; i < N; i++) {
    if (p[i] != -1)
      g[p[i]].push_back(i);
    else
      root = i;
  }
  return make_pair(g, root);
}

/**
 * @brief Cartesian Tree
 */

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